|
mrmath
|
 |
« Yanıtla #1 : Ekim 20, 2007, 05:10:26 ÖS » |
|
KOMBÄ°NASYON
Tanım: olmak üzere n elemanlı bir kümenin p elemanlı bir alt kümesine, bu kümenin p- li bir kombinasyonu denir.
n elemanlı bir kümenin p – li kombinasyonların toplam sayısı, C(n, p) ya da sembollerinden biri ile gösterilir.
n elemanın p li permütasyonlarını n’in sıralı p – lilerinin sayısı olarak tanımladık. Oysa kombinasyonda p – li alt küme düşünülmektedir. Yani kombinasyonda sıra önemli olmamaktadır. Öyleyse problemde sıra önemli ise problem permütasyon problemi, sıra önemli değilse kombinasyon problemi olacaktır.
n elemanın p tane elemanını alıp bu p elemanı sıralarsak p! kadar sıralanır. Oysa p elemanlı bir tane alt küme olur. Demek ki, n elemanlı bir kümenin p elemanını seçtiğimizi düşünürsek, bundan elde edilen kombinasyon sayısı bir tane, oysa permütasyon sayısı p! kadardır.Yani,
(permütasyon sayısı) = p! (kombinasyon sayısı)
Örnek: A={a, b, c} kümesinin elemanlarından oluşturulabilecek 1- li , 2 – li, 3 – lü permütasyon ve kombinasyon sayısını bulunuz.
Çözüm:
I) 1 – li için:
Kombinasyonlar Permütasyonlar
{a} a
{b} b
{c} c
Tablodan görüldüğü gibi, üç elemanlı kümenin birli kombinasyonlarının sayısı
C(3,1) = 3 tür. Üç elemanının birli permütasyonlarının sayısı da P(3, 1) = 3 olmaktadır. Öyleyse,
yazılır.
II) 2 – li için:
Kombinasyonlar Permütasyonlar
(2 – li alt kümeleri) (Sıralı 2 – liler)
{a,b} (a,b) (b,a)
{a,c} (a,c) (c,a)
{b,c} (b,c) (c,b)
Görüldüğü gibi üç elemanlı kümenin 2- li alt kümelerinin sayısı C(3, 2) = 3 tür. Üç elemanın 2 – li permütasyonlarının sayısı ise P(3, 2) = 6 olmaktadır. Burada 2 eleman söz konusu olduğundan,
dir.
III) 3 – lü için:
Kombinasyonlar Permütasyonlar
(3 – lü alt kümeleri) (Sıralı 3 – lüler)
{a,b,c} (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c)
(b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)
Tabloda, 3 elemanın 3 –lü kombinasyonlarının sayısının C(3,3) = 1 ve permütasyonlarının sayısı P(3,3) = 6 olduğu görülüyor. Seçilen eleman sayısı 3 olduğundan,
tür.
Teorem: olmak üzere n elemanlı sonlu bir kümenin p – li kombinasyonlarının sayısı,
dir.
İspat: n elemanın p elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n, p) sembolü ile gösterdik. p – li permütasyonların sayısı da P(n, p) dir. p elemanlı bir tane alt kümeyi düşündüğümüzde, bunun p! tane p – li permütasyonu vardır. Bu nedenle, C(n,p) tane seçim için permütasyon sayısı p! C(n,p) olur. Öyleyse,
dir.
Dikkat edilirse, olduğu açıktır.
Örnek: A={a,b,c,d,e,f,} kümesinin 2 – li kombinasyonlarının sayısını bulunuz.
Çözüm: A kümesi 6 elemanlıdır. İstenen ise 6 nın 2 – li kombinasyonları sayısı olan dir.
olur.
Örnek: Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 düzlemsel nokta ile kaç üçgen belirtilebilir?
Çözüm: Köşeleri A, B, C olan üçgen ile B,C,A olan üçgen aynı C
olduğundan problemde sıra önemli olmamaktadır. Demek ki,
3 – lü alt kümeler düşünülmektedir. Öyleyse 7 elemanın 3 –lü A
kombinasyonlarının toplam sayısı, belirtilebilecek üçgen sayısını verir.
dir. B
|
